泰勒公式在哪个点展开，泰勒展开一定要在某一点吗

大家好，关于泰勒公式在哪个点展开很多朋友都还不太明白，不过没关系，因为今天小编就来为大家分享关于泰勒展开一定要在某一点吗的知识点，相信应该可以解决大家的一些困惑和问题，如果碰巧可以解决您的问题，还望关注下本站哦，希望对各位有所帮助！

本文目录

1. 泰勒公式在哪些地方展开使用的
2. f(x)在a点处展开的泰勒公式是什么
3. 泰勒公式某点处泰勒展开如何理解
4. 泰勒公式,在某点展开,有一点不明白
5. 泰勒公式f( )是在那个点展开呢

一、泰勒公式在哪些地方展开使用的

在 x= 0处展开用麦克劳林展开式，在 x= a（a≠ 0）处展开用泰勒公式。

泰勒公式的使用条件：实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

二、f(x)在a点处展开的泰勒公式是什么

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+…+f[n](a)(x-a)^n/n!+Rn(x)

（f[n](x)表示f(x)的n阶导函数）

拉格朗日余项Rn(x)=f[n+1](a+θ(x-a))*(x-a)^(n+1)/(n+1)!

如果希望按照(x+1)的幂展开，就是令上面中的a=-1，上面的泰勒展开公式和拉格朗日余项将分别变成：

f(x)=f(-1)+f'(-1)(x+1)/1!+f''(-1)(x+1)²/2!+…+f[n](-1)(x+1)^n/n!+Rn(x)①

Rn(x)=f[n+1](θ(x+1)-1)*(x+1)^(n+1)/(n+1)!②

现已知f(x)=1/x，也即：f(x)=x^(-1)，其各阶导函数是：

f'(x)=(-1)x^(-2)=(-1)(1!)x^(-2)

f''(x)=(-1)(-2)x^(-3)=(-1)²(2!)x^(-3)

f[3](x)=(-1)(-2)(-3)x^(-4)=(-1)³(3!)x^(-4)

f[n](x)=(-1)^n*(n!)*x^(-(n+1))③

如果令其中的x=-1，则对任意k阶导数，都有：

f[k](-1)=(-1)^k*(k!)*(-1)^(-(k+1))=(k!)(-1)^(k-(k+1))=-n!

即：f[k](-1)/(k!)=-1都是常数，与k无关。

所以公式①中各个相加的单项式中，除了首项f(-1)和尾项Rn(x)之外，

其余的每个单项式中，分子的导数部分与分母的阶乘部分正好相约成-1，于是公式①可简化成：

f(x)=f(-1)-(x+1)-(x+1)²-(x+1)³…-(x+1)^n+Rn(x)

=-1-(x+1)-(x+1)²-(x+1)³…-(x+1)^n+Rn(x)

其中的Rn(x)，通过③式所示通项公式，也可由公式②简化为：

Rn(x)=(-1)^(n+1)(θ(x+1)-1)^(-(n+2))*(x+1)^(n+1)

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

三、泰勒公式某点处泰勒展开如何理解

cosx用泰勒公式展开式如上图所示。 1.泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 2.泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。 3.泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

四、泰勒公式,在某点展开,有一点不明白

1、上下两个式子中x不是一个意思，下面的写成t更好理解，上面是在0处展开，下面的式子把x写成t，就是f（x）在参数t处展开当x=0时的值。

2、泰勒公式中存在x、x0两组变量(介值属于类似一个二元函数)，固定任意一组另一组变化等式皆成立。表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。

3、泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

五、泰勒公式f( )是在那个点展开呢

1、泰勒展开式，用a+b/2代替书上公式中的x，用x代替书上公式中的x0，就可以。x也好，还是a+b/2也好，都是变量的代号而已。是可以根据情况随便替换的。

2、^对于此处，这里o(x^du5)和o(x^6)都是可以的

3、∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)

4、但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确

5、通常的展开是分别按x,x²,x³,..展开的

6、∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以。

7、泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

8、参考资料来源：百度百科-泰勒公式

泰勒公式在哪个点展开和泰勒展开一定要在某一点吗的问题分享结束啦，以上的文章解决了您的问题吗？欢迎您下次再来哦！

未经允许不得转载：上海考研论坛 » 泰勒公式在哪个点展开，泰勒展开一定要在某一点吗