零矩阵的秩是多少 矩阵有一列全为零矩阵的秩是多少

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一、零矩阵的秩是0么

1、零矩阵的秩是0，非零矩阵的秩>0。

2、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

3、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

4、(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵；

5、m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

6、设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

7、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

8、例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

9、参考资料：百度百科——矩阵的秩

二、关于矩阵平方零矩阵与秩的关系

A^2=零矩阵，说明f(x)=x^2是A的一个化零多项式，于是A的特征值只能是0（化零多项式的根）。

设Jondan标准型为J，则J的主对角线元素就是全0。接下来确定Jondan块的阶数：

易得：Jondan块最高为二阶。否则J^2不会等于零矩阵，那么rank(A^2)=rank(J^2)也不会为0，与题意矛盾。

得出结论：A的Jondan标准型是“特征值为0，最高不超过2阶的Jondan型矩阵”。

很显然，rank(A)最小可以是0，即A是零矩阵，符合题意。

n为偶数，且所有Jondan块都是二阶。也就是J=

此时rank(A)达到最大，rank(A)=rank(J)=n/2.

三、如何判断一个矩阵的秩是否为零

1、A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有

2、右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

3、所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

4、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

5、若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m，n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

6、由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵，det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

7、由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

四、秩等于0的矩阵一定是零矩阵吗

1、向量组的秩等于零意味着这个矩阵是零矩阵。矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。

2、参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。

3、矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩－零化度定理声称它等于f的像的维度。

4、（1）m×n的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的和为 A+ O= O+ A= A，差为 A- O= A，O- A=-A。

5、（2）l×m的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的积 OA为 l×n的零矩阵。

6、（3）l×m的任意矩阵 B和 m×n的零矩阵 O的积 BO为 l×n的零矩阵。

五、特征值全为零的矩阵秩一定为零吗

特征值全为零的矩阵秩不一定为0。

如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。

若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P。

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