2021年考研数学一，2021年考研数学一真题答案及解析
大家好！本文和大家分享一下这道2021年新高考二卷的数学压轴题。这道题考查的是导数的计算、导数与函数的单调性、导数与函数的零点等知识。这道题的难度还是比较大的，但是作为一道压轴题来说难度其实还算正常，不过还是有很多学生直接放弃了。
先看第一小问：讨论函数f(x)的单调性。
对于已知解析式的复杂函数，通常用导数来讨论其单调性。
由f(x)=(x-1)e^x-ax^2+b得，f(x)的定义域为R，且f'(x)=e^x+(x-1)e^x-2ax=x(e^x-2a)。
由于e^x＞0，所以当a≤0时，e^x-2a＞0，则当x＜0时，f'(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x＞0时，f'(x)＞0，此时f(x)单调递增。
当a＞0时，由f'(x)=0可得x=0或x=ln2a。当a=1/2时，ln2a=0，此时f'(x)≥0，则f(x)在R单调递增；当0＜a＜1/2时，ln2a＜0，则ln2a＜x＜0时，f'(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x＜ln2a或x＞0时，f(x)’＞0，此时f(x)单调递增。
再看第二小问：证明函数f(x)只有一个零点。
第一种情况：选择①，即1/2＜a≤e^2/2，b＞2a为条件。
由第一小问可知，f(x)在(0,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增，则当x＞0时，f(x)≥f(ln2a)=(ln2a-1)·2a-a(ln2a)^2+b，由于b＞2a，所以f(ln2a)＞(ln2a-1)·2a-a(ln2a)^2+2a=a(2-ln2a)·ln2a。由于1/2＜a≤e^2/2，所以0＜ln2a≤1，所以f(ln2a)＞0，即f(x)在x＞0时没有零点。
由第一小问知，f(x)在(-∞,0)上单调递增，所以f(x)在x＞0上没有零点，那么在x＜0时一定有一个零点。当x＜0时，f(x)＜f(0)=b-1＞2a-1＞0。接下来就需要在x＜0时找到一个函数值，使其小于零。观察可以发现，当x＜0时，(x-1)e^x肯定小于零，所以只需要-ax^2+b=0即可，即x=-√(b/a)。这样就可以得到f(x)在x＜0时有唯一零点。
第二种情况：选择②，即0＜a＜1/2，b≤2a为条件。
由第一小问知，f(x)在(-∞,ln2a)上单调递增，在(ln2a,0)上单调递减，所以当x＜0时，f(x)≤f(ln2a)≤a(2-ln2a)·2a＜0，所以f(x)在x＜0时没有零点。
接下来就需要证明f(x)在x＞0上有唯一零点。
由于f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(0)=b-1＜0，所以接下来需要在x＞0上找一个函数值为正的情况。由于当x＞0时，e^x＞x+1，所以f(x)＞(x-1)(x+1)-ax^2+b=(1-a)x^2+b-1。由(1-a)x^2+b-1=0且x＞0，得x=√[(1-b)/(1-a)]，所以当x＞√[(1-b)/(1-a)]时，f(x)＞0，所以f(x)在x＞0上有唯一零点。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
2021年考研数学一(2021年考研数学一参考答案及解析)
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